Элемент. математика Примеры

$\frac{\frac{1}{\sqrt{z + h}} - \frac{1}{z}}{h}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{\sqrt{z + h}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{z + h}} \cdot \frac{z}{z} - \frac{1}{z}}{h}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{z}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{z + h}}{\sqrt{z + h}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{z + h}} \cdot \frac{z}{z} - \frac{1}{z} \cdot \frac{\sqrt{z + h}}{\sqrt{z + h}}}{h}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sqrt{z + h} z$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{z + h}}$ на $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{z}{\sqrt{z + h} z} - \frac{1}{z} \cdot \frac{\sqrt{z + h}}{\sqrt{z + h}}}{h}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{z}$ на $\frac{\sqrt{z + h}}{\sqrt{z + h}}$ .

$\frac{\frac{z}{\sqrt{z + h} z} - \frac{\sqrt{z + h}}{z \sqrt{z + h}}}{h}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $\sqrt{z + h} z$ .

$\frac{\frac{z}{z \sqrt{z + h}} - \frac{\sqrt{z + h}}{z \sqrt{z + h}}}{h}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{z - \sqrt{z + h}}{z \sqrt{z + h}}}{h}$

Этап 1.5

Умножим $\frac{z - \sqrt{z + h}}{z \sqrt{z + h}}$ на $\frac{\sqrt{z + h}}{\sqrt{z + h}}$ .

$\frac{\frac{z - \sqrt{z + h}}{z \sqrt{z + h}} \cdot \frac{\sqrt{z + h}}{\sqrt{z + h}}}{h}$

Этап 1.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $\frac{z - \sqrt{z + h}}{z \sqrt{z + h}}$ на $\frac{\sqrt{z + h}}{\sqrt{z + h}}$ .

$\frac{\frac{(z - \sqrt{z + h}) \sqrt{z + h}}{z \sqrt{z + h} \sqrt{z + h}}}{h}$

Этап 1.6.2

Перенесем $\sqrt{z + h}$ .

$\frac{\frac{(z - \sqrt{z + h}) \sqrt{z + h}}{z (\sqrt{z + h} \sqrt{z + h})}}{h}$

Этап 1.6.3

Возведем $\sqrt{z + h}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(z - \sqrt{z + h}) \sqrt{z + h}}{z ({\sqrt{z + h}}^{1} \sqrt{z + h})}}{h}$

Этап 1.6.4

Возведем $\sqrt{z + h}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(z - \sqrt{z + h}) \sqrt{z + h}}{z ({\sqrt{z + h}}^{1} {\sqrt{z + h}}^{1})}}{h}$

Этап 1.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{(z - \sqrt{z + h}) \sqrt{z + h}}{z {\sqrt{z + h}}^{1 + 1}}}{h}$

Этап 1.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{(z - \sqrt{z + h}) \sqrt{z + h}}{z {\sqrt{z + h}}^{2}}}{h}$

Этап 1.6.7

Перепишем ${\sqrt{z + h}}^{2}$ в виде $z + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{z + h}$ в виде ${(z + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(z - \sqrt{z + h}) \sqrt{z + h}}{z {({(z + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{h}$

Этап 1.6.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(z - \sqrt{z + h}) \sqrt{z + h}}{z {(z + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{h}$

Этап 1.6.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{(z - \sqrt{z + h}) \sqrt{z + h}}{z {(z + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Этап 1.6.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(z - \sqrt{z + h}) \sqrt{z + h}}{z {(z + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Этап 1.6.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(z - \sqrt{z + h}) \sqrt{z + h}}{z {(z + h)}^{1}}}{h}$

Этап 1.6.7.5

Упростим.

$\frac{\frac{(z - \sqrt{z + h}) \sqrt{z + h}}{z (z + h)}}{h}$

Этап 1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{z \sqrt{z + h} - \sqrt{z + h} \sqrt{z + h}}{z (z + h)}}{h}$

Этап 1.8

Умножим $- \sqrt{z + h} \sqrt{z + h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Возведем $\sqrt{z + h}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{z \sqrt{z + h} - ({\sqrt{z + h}}^{1} \sqrt{z + h})}{z (z + h)}}{h}$

Этап 1.8.2

Возведем $\sqrt{z + h}$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{z \sqrt{z + h} - ({\sqrt{z + h}}^{1} {\sqrt{z + h}}^{1})}{z (z + h)}}{h}$

Этап 1.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{z \sqrt{z + h} - {\sqrt{z + h}}^{1 + 1}}{z (z + h)}}{h}$

Этап 1.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{z \sqrt{z + h} - {\sqrt{z + h}}^{2}}{z (z + h)}}{h}$

Этап 1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перепишем ${\sqrt{z + h}}^{2}$ в виде $z + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{z + h}$ в виде ${(z + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{z \sqrt{z + h} - {({(z + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{z (z + h)}}{h}$

Этап 1.9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{z \sqrt{z + h} - {(z + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{z (z + h)}}{h}$

Этап 1.9.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{z \sqrt{z + h} - {(z + h)}^{\frac{2}{2}}}{z (z + h)}}{h}$

Этап 1.9.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{z \sqrt{z + h} - {(z + h)}^{\frac{2}{2}}}{z (z + h)}}{h}$

Этап 1.9.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{z \sqrt{z + h} - {(z + h)}^{1}}{z (z + h)}}{h}$

Этап 1.9.1.5

Упростим.

$\frac{\frac{z \sqrt{z + h} - (z + h)}{z (z + h)}}{h}$

Этап 1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{z \sqrt{z + h} - z - h}{z (z + h)}}{h}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{z \sqrt{z + h} - z - h}{z (z + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 3

Умножим $\frac{z \sqrt{z + h} - z - h}{z (z + h)}$ на $\frac{1}{h}$ .

$\frac{z \sqrt{z + h} - z - h}{z (z + h) h}$

Этап 4

Изменим порядок множителей в $\frac{z \sqrt{z + h} - z - h}{z (z + h) h}$ .

$\frac{z \sqrt{z + h} - z - h}{z h (z + h)}$